(Vektor)

FISIKA KELAS X

BAB II

V E K T O R

 

          

Tentunya Kamu pernah mempelajari jurusan tiga angka di SMP. Gambar di atas menggambarkan arah tiga kota yang menjadi rute penerbangan pesawat terbang. Kota 2 berarah 215° dari kota 1, kota 3 berarah 300° dari kota 2, dan kota 1 berarah 079° dari kota 3. Jurusan tiga angka merupakan pelajaran vektor yang menyatakan arah dan besar perpindahan.

Vektor menyatakan arah dan besar suatu besaran. Jurusan tiga angka, Analisi ruang, Navigasi penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor untuk keperluan itu. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan vektoris yang sudah dikalibrasikan dengan alat ukur sehingga menghasilkan keluaran manual atau digital. Keluaran itu dapat dibaca pada  pada alat ukur yang menera besar dan arah secara bersamaan, sehingga bermanfaat bagi orang yang memantaunya.

Tujuan Pembelajaran ·         Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan cara grafis maupun analitis ·         Menghitung jumlah dan selisih vektor-vektor dua dimensi ·         Menjumlahkan vektor-vektor tiga dimensi menggunakan vektor satuan

Peta  Konsep Bab 2

 

                                                                                            

                                                                                            

 

                        

Kata Kunci (Key-words)

·         Cara Analitis

·         Cara Grafis

·         Cara Jajaran Genjang

·         Cara Poligon

·         Cara Segitiga

·         Perkalian Silang (cross product)

·         Perkalian Titik (dot product)

·         Resultan vektor

·         Skalar

·         Titik Tangkap

·         Vektor

·         Vektor Satuan

Daftar Konstanta

 

Cepat rambat cahaya                                    c                                  3,00 x 10⁸ m/s

Konstanta Coulomb                                     k                                  8,99 x 10⁹ N.m²/C²

Konstanta gas umum                                   R                                 8,314 J/K.mol

Konstanta gravitasi umum                           G                                 6,67 x 10^-11 N.m/kg²

Muatan elektron                                           e                                  1,60 x 10^-19 C

 

BAB II

      VEKTOR

A. Pengertian Vektor

            Penggolongan besaran-besaran dalam kehidupan sehari-hari telah diketahui menjadi dua, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Namun ada juga pengelompokan lain berdasarkan nilai dan arah besaran. Penggolongan semacam ini membedakan besaran-besaran menjadi dua kelompok, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar diartikan sebagai besaran yang hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan memiliki arah. Jarak termasuk besaran skalar, sedangkan perpindahan dikatakan sebagai besaran vektor. Orang mengukur jarak adalah menghitung seluruh lintasan gerak yang ditempuh, sedangkan mengukur perpindahan berarti mengukur panjang dari titik awal ke arah titik akhir lintasan. Jadi kalau seorang siswa berlari dari suatu sudut mengelilingi lapangan sepak bola satu kali putaran, berarti Ia  menempuh jarak keliling lapangan sepak bola itu, tetapi dikatakan perpindahannya nol. Contoh besaran skalar lainnya adalah panjang, massa, waktu, suhu, kelajuan. perlajuan, usaha, daya sedangkan contoh besaran vektor diantaranya perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momentum dan sebagainya.

            Gambar berikut ini merupakan besaran vektor diantaranya kecepatan angin, kecepatan arus air laut yang menggerakkan kapal laut, kecepatan pesawat tempur.

Tentu saja kecepatan–kecepatan tersebut memiliki besar dan arah.

   Gambar 1. Kecepatan angin                                                          Gambar 2. Kecepatan pesawat

            Menurut Alonso dan Finn, sebuah vektor dapat digambarkan berupa anak panah atau ruas garis berarah. Panjang anak panah atau ruas garis menyatakan nilai atau besar vektor, sedangkan arah anak, panah menyatakan arah vektor.

Notasi besaran vektor dapat dinyatakan dengan huruf besar atau huruf kecil yang diberi tanda panah di atasnya. Misalnya: vektor  ab atau |AB|

                                   

B                                                                                                                                   

                                                     

                                                A

B. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Dua buah vektor atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangi. Ada beberapa cara penjumlahan dan pengurangan vektor.

1.      Cara Grafis

Cara ini menekankan pada cara menggambarnya. Yang termasuk dalam cara grafis adalah cara poligon, cara segitiga dan cara jajaran genjang.

a.      Cara Poligon

Berikut ini adalah langkah-langkah penjumlah vektor  dengan cara poligon.

 

                                                                                                                                                

	a
					a

 

Ø  gambarkan salah satu vektor yang kita pilih, misalnya vektor a

Ø 

a

Berikut menggambarkan vektor b dengan cara pangkal vektor b

berada diujung vektor a

Ø 

b

Kemudian gambarkan vektor c dengan cara yang sama

Ø  Gambarkan resultan vektor r yang merupakan jumlah dari  vektor a, b dan c  dengan cara menggambarkan vektor dari pangkal vektor a ke ujung vektor c, vektor resultan dinyatakan dengan besarnya atau penjang vektor resultan dan arahnya sesuai dengan hasil dari gambar yang didapat, seperti vektor berikut ini

a

                                      

b.      Cara Segitiga

Untuk cara segitiga, berlaku untuk tiap-tiap dua vektor. Semua pangkal vektor-vektor yang akan dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan vektor resultan dengan menghubungkan kedua ujung vektor tersebut.

 

                       

                      

                        

          

c.         Cara Jajaran Genjang

Untuk cara jajaran genjang, semua pangkal vektor-vektor yang akan dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan vektor bayangan masing-masing vektor. Selanjutnya gambarlah vektor resultan dari titik tangkap ke perpotongan vektor bayangan. Perhatikan contoh penjumlahan vektor secara jajaran genjang berikut ini.

 

b

                       

                       

	a

 

                        

          

Untuk vektor yang lebih dari dua; pertama kali tentukan a + b terlebih dahulu, kemudian ( a + b ) + c, perhatikan contoh berikut ini.

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

			b
					a

 

( a + b )+ c

                                                                                                                                                                                    

a + b

                                                                                                                                                                                         

c

b

                                                                                                                                      

 

                                                        

2. Cara analitis.

Masing-masing vektor diuraikan menjadi komponen-komponen vektor searah sumbu x dan sumbu y dari sistem koordinat Cartesius.

Vektor	a	v x = v cos a	v y = v sin a
v1 v2 v3	a1 a2 a3	v1 x = v cos a1 v2 x = v cos a2 v3 x = v cos a3	v1 y = v sin a1 v2 y = v sin a2 v3 y = v sin a3
		åv x = ................	åv y = ................

Menurut Bresnick besar Resultan vektor dan arah ditentukan dengan :

V_R  =                  Arah resultan :             tg q =

 

C. Vektor dalam Bidang Datar

Dengan mendefinisikan vektor satuan i dan j yang masing-masing searah sumbu X dan Y, untuk vektor dua dimensi akan berlaku  r = x i + y j . Misalnya  posisi titik A pada gambar 3 berikut ini.

®

®

®

®

®

®

Hal yang sama ditunjukkan pada gambar 4 dengan mendefinisikan tiga vektor i,   j,   k,   yang masing-masing sejajar dengan sumbu X. Y dan Z diperoleh  r = x i + y j + z k.

Koordinat titik P(x, y, z) sebagai vektor tiga dimensi.                      

 

 j                                                                  

   Gambar 3. Vektor Dua dimensi                                                          Gambar 4. Vektor Tiga Dimensi

1.      Resultan Vektor-vektor dalam Bidang Datar  2 Dimensi (x,y)

 a. Segaris 

                                                                                 

                                                             

                                                                                                                                                                                 

                                                                                                                                                  

                                   -                                                     -      

                                                                                                                                   

                                                                                 

                

                                                                                                     

b.Vektor yang membentuk sudut

Besar resultan vektor a dan b dirumuskan:

a2 + b2 + 2ab.cos a

  = 

 = sudut apit antara vektor a dan b

Batas besar resultan yang mungkin antara vektor a dan b adalah:

 | a - b |   < r < a + b

Arah vektor terhadap vektor maupun vektor dapat ditentukan dengan rumus sinus sebagai berikut:    =  =

c. Pengurangan Vektor

Selisih antara vektor a dan b, besarnya dirumuskan:

a2 + b2 – 2ab.cos a

r =                                                                                                                                                   

a = sudut apit antara vektor a dan b

                                          

2.      Menguraikan vektor menjadi komponen-komponen menurut sb. X dan sb. Y dalam satu bidang

Suatu vektor  dapat diuraikan menjadi vektor  dan  dimana masing-masing menyatakan vektor komponen dalam arah sb. X dan sb. Y. Besarnya vektor komponen  dan  adalah :  =   cos a dan   = sin a

 = 

a = sudut apit antara v dan sumbu X positif

Apabila yang membentuk sudut terhadap sumbu X lebih dari satu vektor maka:

 = 

Contoh soal:

1.      Dua buah vektor F₁ = 5 N, F₂ = 12 N membentuk sudut q = 60⁰, maka tentukan resultan dari  F₁ + F₂

 Jawab :

F12 + F22 + 2F1F2.cos q

 R = 

 R =  

 R  =  =  = 15,94

 

2.            Tentukan besar komponen gaya sumbu X dan Y

Jawab

F_x = F cos q = 60 cos 60^° = 60 x 0,5 = 30 N

F_y = F sin q  = 60 sin 60^°  = 60 x 0,5= 30 N

3.      Tentukan besar dan arah vektor yang memiliki komponen-komponen sebagai berikut :

a.          A_x = 3 cm, A_y = 4 cm

b.            F_x = -3 N, F_y =  N

Jawab:

a.                  

Ax2 + Ay2

…

A         =    =     =  5

                                     tg q     =   =   (kuadran I)            ®          q  =  53⁰

b.                 

Fx2 + Fy2

      F    =    =   = 

                                     tg q     =   =  (kuadrat II)           ®         q =  150⁰

4.  Hitunglah resultan gaya pada gambar di samping secara analitis!

Mengetahui:    F₁ = 40 N        F₂ = 60 N        F₃ = 30 N

Jawab:

R_x           =  F₁ cos q^° + F₂ cos (120^°) + F₃ cos (240^°)

            =  40 . 1 + 60 . - 0,5 + 30 . – 0,5

            =  40  - 30 – 15 = - 5

R_y        =  F₁ sin q^° + F₂ sin (120^°) + F₃ sin (240^°)

            =  40 . 0 + 60 . 0,5 + 30 . – 0,5

             =  0 + 30 – 15 = 15

Rx2 – Ry2

R =          =  =  = 15,81

Tugas

Kerjakan jawabannya di buku tugasmu!

1. Dua buah gaya searah dan satu garis kerja bekerja pada sebuah benda. Masing-masing gaya besarnya 50 N dan 20 N. Tentukan besar resultan gaya yang bekerja pada benda itu !
2. Bagaimanakah menggambarkan gaya 8 N ke arah barat diteruskan gaya 6 N ke arah selatan secara vektor? Berapakah resultannya ?
3. Tentukan resultan gaya-gaya yang saling tegak lurus seperti ditunjukkan gambar di bawah ini. Masing-masing gaya besarnya 20 N dan 50 N.

4. Dua buah vektor F₁ dan F₂ saling membentuk sudut 120^o. F₁ = 50 N dan membentuk sudut 30^o dengan Resultan kedua vektor, Hitunglah besar F₂ dan R.

3.Vektor Pada Sistem Koordinat Ruang ( x, y, z )

Telah kamu  lihat bagaimana suatu vektor diuraikan atas komponen-komponen pada sumbu x dan sumbu y. Untuk vektor yang terletak dalam ruang (3 dimensi), maka vektor dapat diuraikan atas komponen-komponen pada sumbu x, y dan z.

a, b, g = masing-masing sudut antara vektor A               dengan sumbu-sumbu x, y dan z  = x + y + z                  atau  = Ax  + Ay+ Az Ax  =  cos a Ay =  cos b Az =  cos g

Besaran vektor A

dan , ,  masing-masing vektor satuan pada sumbu x, y dan z

4. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu.

a.                              Penjumlahan Vektor Satuan

         

Untuk bidang dimensi 2         v = v_x                      ®

Untuk bidang dimensi 3         v = v_x            ®

Contoh:

            a = 4 +2  -                  a + b  = ( 4i +2 j - k ) + ( i - j +2 k )

                        b =  - + 2                               = (4 + 1)i + (2 -1)j + (-1 + 2)k

                                                                                = 5  +  +

b.                              Perkalian Vektor Satuan

Ø  Perkalian titik (dot product)

Arah sumbu x = 

Arah sumbu y =

Arah sumbu z = 

besar  satuan

Perkalian titik 2 vektor satuan sejenis             Perkalian titik 2 vektor satuan lain jenis

            .      = i . i cos q                               .  = i . j cos q                           

                         = 1 . 1 cos 0                                       = 1 . 1 cos 90       

    = 1 . 1 . 1 = 1 satuan                          = 1 . 1 . 0 = 0 satuan

           .     = 1                                            .  = 0   

            .     = 1                                          .    = 0

 

Jika vektor a diuraikan menjadi vektor proyeksinya

Vektor satuan       ®         = _xi­ +  _yj + _zk

ax 2 + ay 2 + az 2

Besar   ®                  = 

 

Arah ®           tg a     = 

Perkalian dot vektor  dengan vektor

ax 2 + ay 2 + az 2

 .   = _xi + _{yj     ®}               [ ]     = 

bx 2 + by 2 + bz 2

                                                []      = 

 .                             =     [][]cos a

cos a                             =    

Contoh 1:        = + 2 - 3          . =  (+ 2- 3k ) . ( -2 + 5-  )

  = -3+ 2–                  =  ( 1 )( -2) + ( 2)(5) + ( -3 )( -1)

                                                                        =  ( -2 ) + ( 10 ) + (3 ) = 11

Contoh 2:                         

Dua vektor p = 3- 4 dan q = 4-3

Hitung:            a.  p . q

                        b.  sudut apit antara p dan q

Jawab:

a.             p . q        =  (3- 4) . ( 4-3 )

                        =  ( 3 )( 4 ) + ( -4 )( -3 ) = ( 12 ) + ( 12 ) = 24

b.            p = = 5

q =   = 5

bila sudut apit antara p dan q adalah q, maka

p . q = p q cos q

cos q       =  =  =  = 0,96

q  = 16,26^°

Ø   Perkalian silang (cross product)

- Perkalian silang 2 vektor satuan sejenis   - Perkalian silang 2 vektor satuan lain jenis

 

x    = 1 x 1 sin q    x   = 0                   x   = -    x   =

            = 1 x 1 sin 0     x = 0                   x   = -     x =

            = 1 x 1 x 0 = 0 satuan                          x = -      x =     

Memakai Determinan

Contoh:

 = 2+ 3+ -4          dan              = 3 -4  + 2

 x  = (3)(2) + (-4)(3) + (2)(4)

           - (3)(3) - (-4)(-4) -(2)(2)

= 6 + (-12)  + 8  - 9  + 8 - 4

= 14- 16  -

Besar    x  =   | a x b |        =    = 

Memakai Cara Praktis

 = x + y  + z        = p+ q  + r

                                                            = (y.r – q.z) + (z.p –x.r) + (x.q – y.p)

Contoh:          

 = + 2 -3         dan        = -3+ 2 +

Jawab:

            = (2.1 – 2. -3)  +(-3.-3  - 1.1) + (1.2 – 2. -3)

            = 8 + 8  + 8

Tugas

Kerjakan penyelesaian soal-soal berikut di buku tugasmu!

1.  Dua vektor                A  = 3 i + 4 j

                            B = - i + j

a.       Tentukan besar dan arah resultannya!

b.      Tentukan besar dan arah      A - B

c.       Sudut antara      A dan B

2. Diketahui vektor- vektor:

A     = 3 i + 4 j -5 k   dan

B     = - i + j + 2 k

Tentukan :

a.       Besar resultannya.

b.      Hal yang sama bagi selisih  A - B, dan

c.       Sudut antara      A dan B

3. Diketahui:     A   = 2 i  + 3 j

B = -  i + j

Hitunglah :  a.      A   –  B

b.              A  x  B 

c.       Sudut antara A dan B 

Kegiatan Percobaan

	Tanggal/Jam    : Kelas/ Smt      : X/I Kelompok       : 1. .........................                        5 ............................ 2. .........................                        6. ............................ 3. .........................                        7. ............................ 4………………..     8 ………………….

 

A.    Judul Percobaan        :    Penjumlahan Vektor

B.     Petunjuk Belajar       :    1. Baca literatur yang berkaitan dengan vektor

                                               2.  Baca teori sebelum melakukan percobaan

                                                3.  Baca petunjuk percobaan sesuai dengan urutan langkah yang disajikan

                                               4. Buatlah laporan hasil pekerjaan (tugas individual)  dan kumpulkan kepada guru.

C.    Alat-alat dan Bahan :     1. pegas Newton                   4. bensin

                                               2. mikrometer sekrup             5. kertas HVS

                                               3. neraca                                8. katrol dan beban

D.    Informasi                                                                      

1. Vektor adalah besaran fisika yang memiliki nilai dan arah
2. Contoh-contoh besaran vektor adalah gaya, kecepatan, arus listrik, percepatan, dan lain-lain.
3. Nilai vektor ditentukan oleh panjang garis dan arah vektor ditentukan oleh arah panah.
4. Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan
5. Hasil penjumlahan dapat bernilai lebih besar atau lebih kecil dari komponen vektornya.

E.     Langkah- langkah Kerja :

1. Sudut antara F₁ dan F₂ = 0 = 90° dan 60°

a.       Susun alat bahan seperti gambar

b.      Catat besarnya F₁, F₂ dan F₃ yang

ditunjukkan ketiga neraca ke dalam tabel

c.       Lakukan beberapa kali dengan F₁ dan F₂

yang berbeda-beda                                                                 

0 = 90 ⁰                                                                          0 = 60 ⁰

No.	F1	F2	F3	F3		No.	F1	F2	F3	F3

F.     Kesimpulan : .........................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

Analisa

Lakukan analisa setiap persoalan berikut, dan  buatlah penyelesaiannya, bila dipandang perlu lakukan dengan perhitungan. Buatlah di buku tugasmu!

1.      Siswa kelas X_A kebingungan mendapatkan lima macam contoh besaran skalar dan lima contoh besaran vektor. Coba, bantulah siswa tersebut mengatasi kebingungannya

2.      Pada alat speedometer seorang sopir dapat membaca besaran yang diinginkan. Besaran apakah yang dimaksud ?

3.      Tentukan resultan vektor  berikut secara grafis dengan                          A

a. Metode Poligon :   A + B + C + D  dan A - B

b. Metode Jajaran Genjang : A + B + C

c. Metode analitis  A + B + C + D

                                                                                                               B              C             D

4.   Sebuah Perahu motor akan menyeberang sungai yang lebarnya 35 dengan kecepatan arus air sungai 3 m/s . Jika kecepatan perahu untuk menyeberang 5 m/s.dengan arah 60^° terhadap arah arus sungai. Maka tentukan :

      a. Kecepataran resultan perahu motor ketika menyeberang sungai.

      b. Lamanya perahu menyeberang.

5.   Pada gambar disamping, Tentukan komponen                                       y

      vektor gaya F = 10 N menurut sumbu x dan y                    F

                                                                                                                 30° 

                                                                                                                     

                                                                                                                                              x

6.   Jika masing-masing kotak berukuran ( 1x1) cm

      Tentukan besar resultan vektor A + B

                                                                                                                                                                       

B

                                                                                                                                                       

                                                       A

                                                                             B

7.   Usaha W didefinisikan sebagai perkalian titik dari vektor gaya  dengan vektor perpindahan    .  W =  .  Tentukan besarnya usaha W, jika 

 =   + 2  + 3    N,

         = 3  + 2  +    m.

8.   Suatu vektor gaya   =   + 2  + 3   N bekerja pada suatu poros dengan lengan momen    = 3  + 2  +   m, sehingga menghasilkan momen gaya . Momen gaya didefinisikan sebagai perkalian silang vektor gaya dengan vektor lengan momen.

      atau momen gaya  =  F x   . Tentukan besarnya momen gaya  tersebut.

9. Dua buah vektor F₁ dan F₂ saling membentuk sudut 120^o. F₁ = 50 N dan membentuk sudut 30^o dengan resultan kedua vektor, hitunglah besar F₂ dan R.

10. Sebuah benda ditarik oleh dua buah gaya masing-masing besarnya 10 newton. Kedua gaya itu membentuk sudut 60⁰. Berapakah besar resultan kedua gaya tersebut ?                                                                                 

                                                                                                                                                                              

Rangkuman

1.      Besaran Skalar adalah besaran yang hanya ditentukan oleh besarnya atau nilainya saja.

Contoh : panjang, massa, waktu, kelajuan, dan sebagainya.

2.      Besaran Vektor adalah besaran yang selain ditentukan oleh besarnya atau nilainya, juga ditentukan oleh arahnya.

Contoh : kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya.

3.      Sifat-sifat vektor.

a.        +  =  +   Sifat komutatif.

b.       + (+) = (+) +  Sifat assosiatif.

c.       a (+ ) = a  + a

d.       // + // /+/

4.      Resultan Dua Vektor

a.       Cara Jajaran genjang

α =  sudut antara A dan B

// =

arahnya :

b.      Cara Poligon

R  adalah resultan dari,  dan

c.       Cara Analitis

    Vektor          sudut               vx = v cos            vy = v sin

       V1                                vx = v cos          vy = v sin

       V2                                vx = v cos          vy = v sin

       V3                                vx = v cos          vy = v sin

                                                         

Resultan /R  / =

Arah resultan : tg  =

5.      Vektor Pada Sistem Koordinat Ruang ( x, y, z )

            ,, =  masing-masing sudut antara                    vektor A           dengan sumbu-sumbu x, y dan z

 = x + y + z                  atau

 = /x / + /y /+ /z / /x / =  cos  /y / =  cos  /z  / =  cos   

Besar vektor A

dan , ,  masing-masing vektor satuan pada sumbu x, y dan z

6.    Perkalian Vektor

a.       Perkalian vektor dengan skalar.

Suatu vektor jika dikalikan dengan suatu besaran skalar maka hasilnya adalah suatu vektor.

b.      Perkalian vektor dengan vektor.

Dalam perkalian vektor dengan vektor, kita mengenal dua bentuk perkalian , yaitu :

1) Perkalian titik (Dot Product)

2) Perkalian silang (Cross Product)

7.      Dalam Perkalian Titik antara vektor A dengan vektor B akan diperoleh besaran skalar.

Contoh :  ·  = C

C besaran skalar yang besarnya C = // · // cos q

dengan q adalah sudut antara  dengan

8.      Dalam Perkalian Silang antara vektor A dengan vektor B akan diperoleh besaranvektor.

Contoh :  x  =

 besaran skalar yang besarnya  = / / x // sin q

dengan q adalah sudut antara  dengan

Tugas Akhir Bab 2

Kerjakan penyelesaian permasalahan berikut di buku tugasmu!

1. Sebuah bola tenis dikenai tiga buah gaya seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Buatlah pemisalan sendiri besar ketiga gaya yang bekerja pada bola tenis. Menurut datamu, kemana arah resultan gayanya ? Kemana arah gerak bola tenis tersebut ?

2. Carilah resultan gaya gambar di bawah ini dengan cara analitis !

 

3. Hitunglah resultan gaya  dari gambar di samping ini !

 

4. Berapakah kecepatan resultan perahu boat dan berapa sudut simpangnya dari arah sumbu +y ?

 

 

Info Tambahan

Sebuah program komputer yaitu Aplikasi Vektor telah diciptakan untuk mempermudah pekerjaan manusia. Dengan program ini orang dapat bekerja menggunakan berbagai kaidah vektor. Bahkan dapat pula digunakan untuk membuat ilustrasi gedung misalnya. Hasilnya seperti  pada gambar di bawah ini

 

Soal Latihan Akhir Bab 2

Soal Pilihan Ganda

Pilihlah salah satu jawaban yang benar

1.   Jika vektor F₁ = 8 N, vektor F₂ = 6 N mempunyai titik tangkap sama membentuk sudut 60^o, besarnya resulatan kedua vektor tesebut adalah …N

      a 3              b. 2          c. 2       d. 4       e. 3

2.   Berapa sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor gaya masing-masing 12 N dan 10 N yang tertitik tangkap sama. Jika besar resultannya 2adalah …

      a  30^o                          b. 45⁰                       c.  60⁰           d. 120⁰               e. 150⁰ 

3.   Dua buah vektor F1 = 9 N dan F2 = 24 N yang bertitik tangkap sama dan membentuk sudut 60⁰ . Berapakah besar selisih kedua vektor tersebut.

      a  15 N               b. 20 N            c. 21 N            d. 31 N             e. 41 N

4. Perhatikan gambar percobaan vektor gaya resultan R = F₁ + F₂ dengan menggunakan 3 neraca pegas berikut ini.

      1.                                                       2.                                           3.

.        5 N                        5 N             4 N                  3 N          8 N                     8 N

                 

                            

     

              

                 5 N                                                                                                                                                                        

                                                             5 N         tg = 3/4                   8 N         tg= 3/4

yang sesuai dengan rumus vektor gaya resultan secara analitis adalah gambar…

a. 1, 2 dan 3                      b. 1                        c.1 dan 2         d. 1 dan 3        e. 2

5. Perhatikan diagram-diagram vektor berikut ini

           C                                            A                                    A

                 

                          A                  B                   C                 B               B               C

                            (1)                                        (2)                              (3)

                 

                                              C                                   B

                         A                                        A                        (5)

                  (4)

                                       B                                       C

                 

      Diagram vektor di atas yang menunjukkan C = A – B adalah …

      a.  (1 )           b. (2)                  c. (3)                d. (4)               e. (5)

6. Dari tiga buah vektor gaya berikut ini, besarnya resultan gaya adalah ….N

      a. 20                  F2=20 N

      b. 25                                 30^o                      F1 = 30 N

      c. 30                                                 60^o

      d. 45

      e. 60                            60^o

                                F3 = 10 N

7.  Sebuah gaya F = (2i + 3j) N melakukan usaha dengan titik tangkapnya berpindah menurut r = (4 i + a j) m  dan vektor i dan j  berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan sumbu y pada koordinat Cartesian. Bila usaha itu bernilai 26 J maka nilai a sama dengan …

a.              5                     b. 6                 c. 7                  d. 8                  e. 12

8. Dua buah vektor F1 dan F2 bertitik tangkap sama saling mengapit sudut A. Ternyata dipenuhi [ F1 + F2] = [F1 – F2], maka besarnya sudut A adalah …..

a. 180⁰                          b. 120⁰            c.90⁰         d. 60⁰                      e. 0⁰

9. Besar resultan gaya pada gambar di  bawah ini adalah …

 

                           y      F₁ = 10 N

                                                         x

         F₂ = 3 N

                           F₃ = 5 N

a. 8 N                b. 6 N                        c. 5 N              d. 3 N              e. 2 N

10. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 meter dan kecepatan arus airnya 4 m/s. bila perahu di arahkan menyilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s, maka setelah sampai diseberang perahu telah menempuh lintasan sejauh …. meter

a. 100

b. 240

c. 300

d. 320

e. 360

11. Vektor F₁ = 20 N berimpit sumbu x positif, Vektor F₂ = 20 N bersudut 120^O terhadap F₁  dan F₃ = 24 N bersudut 240 derajat terhadap F₁.

Resultan ketiga gaya pada pernyataan di atas adalah :

a. 4 N searah F₃

b. 4 N berlawan arah dengan F₃

c. 10 N searah F₃

d. 16 N searah F₃

e. 16 N berlawanan arah dengan F₃

12. Dua buah gaya bernilai 4 N dan 6 N. Resultan gaya tersebut tidak mungkin bernilai ….N

a. 1

b. 2

c. 4

d. 6

e. 10

13. Jika sebuah vektor dari 12 diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus dan yang sebuah dari padanya membentuk sudut 30^o dengan vektor itu, maka besar masing-masing adalah :

a. 3 N dan 3 N

b. 3 N dan 3 N

c. 6 N dan 3 N

d. 6 N dan 6 N

e. 6 N dan 6 N

14. Dari hasil pengukuran di bawah ini yang termasuk vektor adalah …

a. Gaya, daya dan usaha

b. Gaya, berat dan massa

c. Perpindahan, laju dan kcepatan

d. Kecepatan, momentum dan berat

e. Percepatan, kecepatan dan daya

15. Dua buah vektor gaya masing-masing  F₁ = 10 N dan F₂ = 10 N,  Resultannya  10 N, maka sudut apit kedua vektor  tersebut adalah ….

a. 120⁰               b. 90⁰             c. 60⁰               d. 45⁰               e. 30⁰   

Soal Uraian

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!

1.      Dua vektor gaya A dan B saling mengapit sudut 120⁰. Resultan yang terbentuk membentuk sudut 60⁰ terhadap vektor A. Tentukan besarnya vektor A dan B, bila resultan kedua vektor tersebut 20 N !

2.      Dua vektor setitik tangkap F₁ mendatar yang besarnya 10 N. Sudut antara resultan R dengan F₂ = 30°. Jika besar resultan vektor tersebut   newton, maka tentukan:

a.       sudut antara F₁ dan F₂

b.      sudut antara F₁ dan R

c.       besarnya F₂

3.      Lima gaya pada bidang datar setitik tangkap masing-masing besarnya sama dengan 10 N. Vektor – vektor tesebut terhadap sumbu X positif membentuk sudut 30^°, 60^°, 210^°, 240^°, dan 330^°. Tentukan besar resultan dan arahnya terhadap sumbu X positif!

4.      Lima buah gaya tersusun seperti pada gambar.

  Tentukan:

a.       Harga resultan dari gaya-gaya itu

b.      Arah resultan terhadap sumbu X positif

c.       Memakai cara apakah menurutmu yang paling kamu sukai ?

5.      Isilah titik-titik berikut ini untuk :

R a.  8 satuan        4satuan      300       ............... b.  6 satuan        2satuan      450           ............... c.  5 satuan           10 satuan      600           ............... d.  3 satuan             4 satuan      900           ...............

6.      Dua vektor dari 4 satuan dan 3 satuan yang bertitik tangkap di suatu titik, menghasilkan vektor resultan sebesar  satuan. Hitunglah sudut yang di bentuk oleh kedua vektor tersebut.

7.      Sebuah perahu bergerak arah utara dengan kecepatan 12 km/jam mendapat dorongan dari angin arahnya ke barat dengan kecepatan 5 km/jam. Tentukan kecepatan perahu dan arahnya

8.      Dari titik A, Badu berjalan menuju arah Timur sejauh 5 km sampai di titik B dan melanjutkan perjalanannya dengan arah Utara sejauh 10 km sampai di titik C. Berapakah jarak AC ?

9.      Dua buah vektor v₁ = 2satuan dan v₂ = a satuan bertitik tangkap pada suatu titik. Jika jumlah kedua vektor itu 6 satuan, dan membentuk sudut 60⁰. Berapa nilai a?

10.  Tiga buah vektor bertitik tangkap sama dan sebidang. v₁ = 16 satuan; v₂ = 8 satuan. Sudut antara v₁ dan v₂ adalah 120⁰. Jika resultan ketiga vektor tersebut adalah nol. Berapakah besarnya v₃ dan berapa besar sudut yang dibentuk oleh v₁ dan v₃ ?

11.  Gambarkan :

a.  + - 3 b. 2-( 2-)

12.  Empat buah vektor bertitik tangkap di titik 0 pada susunan salib sumbu Cartesius. v₁ berimpit dengan sumbu x⁺ besarnya 3 satuan v₂ membentuk sudut 45⁰ dengan sumbu x⁺ besarnya 4 satuan, v₃ besarnya 5 satuan dan membentuk sudut 150⁰ dengan sumbu x⁺ dan v₄ besarnya 6 satuan, membentuk sudut 240⁰ dengan sumbu x⁺. Gambarkan resultan keempat gaya tersebut dan hitung besarnya. (v₆ = 2,45 ; v₃ = 1,73 ; v₂ = 1,41)

13.  Lima buah vektor bertitik tangkap di 0 pada koordonat kartesius. Sudut yang dibentuk oleh masing-masing vektor dengan sumbu x⁺ serta besar vektor tersebut adalah sebagai berikut :

v₁    45⁰         14 satuan

v₂    60⁰         20 satuan

v₃    180⁰      18 satuan

v₄    210⁰      30 satuan

v₅    300⁰      16 satuan

      Tentukan resultan dari kelima vektor tersebut.

14.  Dua buah gaya F₁ dan F₂ saling membentuk sudut 600. Resultan kedua gaya tersebut    28 N. Jika F₁ : F₂ = 5 : 3 maka berapa besar masing-masing F₁ dan F₂ tersebut?

15.  Dua buah vektor gaya F₁ dan F₂ bertitik tangkap sama masing-masing sebesar 8 N dan   3 N saling mengapit sudut 600, tentukan selisih kedua vektor gaya tersebut !

16.  Dua buah vektor gaya F₁ dan F₂ saling membentuk sudut 120⁰ akan memberikan   resultan = 25 N. Jika sudut antara F₁ dengan resultan gaya adalah 60⁰. Tentukan besar vektor gaya       F₁ dan F₂ !

17.  Sebuah titik A ( 0,4 ) dan sebuah titik B ( 3,4 ) pada sisitem koordinat cartesius.       Jika a = OA dan b = OB, maka carilah :

a. Besar vektor a

b. Besar vektor b

c. Besar penjumlahan vektor a dan b

d. Besar pengurangan vektor a dan b

18.  Tiga gaya K₁, K₂ dan K₃ bekerja pada sebuah titik dan besar K₁ = 10 N, K₂ = 5N       dan K₃ = 5V3. Jika sudut K₁ = 0⁰ terhadap sumbu x ; K₂ = 120⁰ terhadap K₁ ; K₃ = 90⁰ terhadap K₂. Berapa besar resultan ketiga gaya tersebut.

19.  Dua buah vektor A = 2 + 3+ 4 dan B = - 2+ 3

a. Tentukan besar tiap vektor.

b. Tulis pernyataan untuk jumlah vektor A+B dengan menggunakan vektor satuan.

c. Tentukan besar dan arah jumlah vektor A+B

d. Tulis pernyataan untuk selisih vektor A-B dengan menggunakan vektor-vektor

    satuan.

e. Tentukan besar dan arah selisih vektor A-B

f. Tentukan A · B

g. Tentukan A x B

20.  Tentukan sudut apit antara vektor a = 2 + 3+ 4 dan B = -- 2+ 2 !

Glosarium

·         Cara Analitis = cara menjumlahkan vektor-vektor dengan menyatukan semua vektor dalam satu titik tangkap di pangkal koordinat dan menguraikannya menjadi komponen mendatar dan vertikal. Kemudian menghitung resultannya dengan teorema pithagoras.

·         Cara Grafis = cara menjumlahkan vektor-vektor dengan menggambarkan kemudian mengukur atau menghitung resultannya.

·         Cara Jajaran Genjang = salah satu cara grafis dengan mempertemukan vektor-vektor pada satu titik tangkap dan membuat vektor-bayangannya. Kemudian menghubungkan titik tangkap dengan perpotongan bayangan itu.

·         Cara Poligon =  salah satu cara grafis denganmempertemukan ujung dan pangkal tiap-tiap vektor. Kemudian menghubungkan pangkal mula-mula dengan ujung vektor akhir .

·         Cara Segitiga = salah satu cara grafis dengan mempertemukan vektor-vektor pada satu titik tangkap, dan menghubungkan ujung-ujung kedua vektor.

·         Perkalian Silang (cross product) = cara perkalian vektor-vektor yang menghasilkan bentuk vektor.

·         Perkalian Titik (dot product) = cara perkalian vektor-vektor yang menghasilkan bentuk skalar.

·         Resultan vektor = penjumlahan vektor-vektor.

·         Skalar = besaran yang hanya memiliki arah.

·         Titik Tangkap = titik pertemuan pangkal vektor-vektor.

·         Vektor = besaran yang memiliki besar dan arah.

·         Vektor Satuan = vektor yang besarnya satu meliputi i, j, k.

Indeks Subjeks                                                                              Halaman

·         Analitis                                                                                                      59

·         Determinan                                                                                               66

·         Grafis                                                                                                        57

·         Jajaran Genjang                                                                                        58

·         Perkalian Cross                                                                                         66

·         Perkalian Titik                                                                                           64

·         Poligon                                                                                                      57

·         Resultan                                                                                                    58

·         Segitiga                                                                                                     58

·         Vektor                                                                                                       56

·         Vektor Satuan                                                                                           64

Indeks Author                                                                      Halaman

·         Alonso & Finn                                                                                          57

·         Bresnick                                                                                                    59

Daftar Pustaka

            Alonso, Marcelo & Edward J. Finn (1992), Dasar-dasar Fisika Universitas, Edisi                            Kedua, Jakarta, Penerbit Erlangga.

            Bresnick, Stephen D. (2002), Intisari Fisika, Jakarta, Hipokrates.